高等数学 4.Applications of Derivatives

4.Applications of Derivatives

极值

极值

函数在某一区间内取得的最大值和最小值称为极值。极值可以分为局部极值和全局极值。

• 局部极值：函数在某一点处的值大于或小于其邻域内其他点的值。
• 全局极值：函数在整个定义域内的最大值或最小值。

驻点

驻点是指函数在某一点处的导数为零或不存在的点。驻点可能是极值点，也可能不是极值点。

可能取到极值的点

• 函数的驻点
• 函数的端点（如果定义域是闭区间）
• 函数的不可导点

寻找极值的步骤

1. 求函数的导数并找到驻点。
2. 计算导数不存在的点。
3. 计算函数在驻点和端点处的值。
4. 比较这些值，确定最大值和最小值。

中值定理

罗尔定理

如果函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上连续，在开区间 $(a, b)$ 上可导，且满足 $f(a) = f(b)$，则存在至少一个点 $c \in (a, b)$ 使得 $f'(c) = 0$。

证明

设 $M$ 和 $m$ 分别为函数 $f(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上的最大值和最小值。

• 如果 $M = m$，则 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上为常数函数，任意 $c \in (a, b)$ 都满足 $f'(c) = 0$。
• 如果 $M \neq m$，则 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上至少有一个最大值点 $c_1$ 和一个最小值点 $c_2$。由于 $f(a) = f(b)$，所以最大值和最小值不能同时出现在端点 $a$ 和 $b$。因此，至少有一个极值点 $c$ 位于开区间 $(a, b)$ 上。所以找到了一个点$c$，使得 $f'(c) = 0$。

拉格朗日中值定理

如果函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上连续，在开区间 $(a, b)$ 上可导，则存在至少一个点 $c \in (a, b)$ 使得

$$f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$$

证明

tips: 证明可以参考罗尔定理的思路，构造辅助函数 $g(x) = f(x) - \left( \frac{f(b) - f(a)}{b - a} (x - a) + f(a) \right)$，然后应用罗尔定理。

函数的单调性

单调递增和单调递减

• 函数 $f(x)$ 在区间 $I$ 上单调递增则意味着对于任意 $x_1, x_2 \in I$，如果 $x_1 < x_2$，则有 $f(x_1) < f(x_2)$。
• 函数 $f(x)$ 在区间 $I$ 上单调递减则意味着对于任意 $x_1, x_2 \in I$，如果 $x_1 < x_2$，则有 $f(x_1) > f(x_2)$。

判断单调性的方法

$f$在区间$I$上连续，可导（去掉端点）

• 如果 $f'(x) > 0$，则 $f(x)$ 在该区间上单调递增。
• 如果 $f'(x) < 0$，则 $f(x)$ 在该区间上单调递减。

极值与单调性的关系

• 如果函数在某点的导数由正变负，则该点为局部极大值点。
• 如果函数在某点的导数由负变正，则该点为局部极小值点。
• 如果函数在某点的导数不变号，则该点不是极值点。

凹凸性与拐点

凹函数与凸函数

• 函数 $f(x)$ 在区间 $I$ 上是凹函数(concave down)，那么$f'(x)$在$I$上单调递减，$f''(x)<0$。
• 函数 $f(x)$ 在区间 $I$ 上是凸函数(concave up)，那么$f'(x)$在$I$上单调递增，$f''(x)>0$。
  

拐点（Inflection Point）

拐点是指函数的凹凸性发生变化的点。函数在该点的二阶导数由正变负或由负变正。
在拐点时，二阶导数等于零或不存在

极值的二阶导数判别法

当$f'(c) = 0$时，

• 如果 $f''(c) > 0$，则 $f(c)$ 是局部极小值。
• 如果 $f''(c) < 0$，则 $f(c)$ 是局部极大值。
• 如果 $f''(c) = 0$，则该方法无法判别，需要进一步分析。

牛顿迭代法

牛顿迭代法(Newton’s Method)是一种用于求解方程 $f(x) = 0$ 的数值方法。其基本思想是利用函数的切线来逼近根的位置。

迭代公式

设初始猜测值为 $x_0$，则迭代公式为：

$$x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$$