微积分

3.Derivatives

定义

导数是描述函数在某一点处变化率的数学概念。它表示函数值相对于自变量的变化率。导数的定义可以通过极限来表达：

f′(x)=lim⁡h→0f(x+h)−f(x)hf'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}

切线的斜率就是导数的几何意义。

左导数

左导数表示函数在某一点处从左侧接近该点时的变化率。其定义为：

f−′(x)=lim⁡h→0−f(x+h)−f(x)hf'_{-}(x) = \lim_{h \to 0^-} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}

右导数

右导数表示函数在某一点处从右侧接近该点时的变化率。其定义为：

f+′(x)=lim⁡h→0+f(x+h)−f(x)hf'_{+}(x) = \lim_{h \to 0^+} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}

导数存在的条件

导数存在的充分必要条件是左导数和右导数都存在且相等，即：

f−′(x)=f+′(x)⇔f′(x) 存在f'_{-}(x) = f'_{+}(x) \Leftrightarrow f'(x) \text{ 存在}

一些导数不存在异常情况


平均变化率和导数对比

  • 平均变化率是曲线的割线斜率，导数是切线斜率。
  • 平均变化率计算的是两个点之间的变化，而导数关注的是单个点处的瞬时变化。

导数和连续

可导必连续，连续不一定可导。

基本求导法则

基本函数的求导

函数 导数
常数函数 f(x)=cf(x)=c f′(x)=0f'(x)=0
幂函数 f(x)=xnf(x)=x^n f′(x)=nx(n−1)f'(x)=nx^{(n-1)}
指数函数 f(x)=exf(x)=e^x f′(x)=exf'(x)=e^x
对数函数 f(x)=ln⁡xf(x)=\ln x f′(x)=1xf'(x)=\frac{1}{x}
三角函数 f(x)=sin⁡xf(x)=\sin x f′(x)=cos⁡xf'(x)=\cos x
三角函数 f(x)=cos⁡xf(x)=\cos x f′(x)=−sin⁡xf'(x)=-\sin x
三角函数 f(x)=tan⁡xf(x)=\tan x f′(x)=sec⁡2xf'(x)=\sec^2 x
三角函数 f(x)=cot⁡xf(x)=\cot x f′(x)=−csc⁡2xf'(x)=-\csc^2 x
三角函数 f(x)=sec⁡xf(x)=\sec x f′(x)=sec⁡xtan⁡xf'(x)=\sec x \tan x
三角函数 f(x)=csc⁡xf(x)=\csc x f′(x)=−csc⁡xcot⁡xf'(x)=-\csc x \cot x
反三角函数 f(x)=arcsin⁡xf(x)=\arcsin x f′(x)=11−x2f'(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}
反三角函数 f(x)=arccos⁡xf(x)=\arccos x f′(x)=−11−x2f'(x)=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}
反三角函数 f(x)=arctan⁡xf(x)=\arctan x f′(x)=11+x2f'(x)=\frac{1}{1+x^2}

四则运算法则

  1. 和差法则：(f(x)±g(x))′=f′(x)±g′(x)(f(x) \pm g(x))' = f'(x) \pm g'(x)
  2. 乘法法则：(f(x)⋅g(x))′=f′(x)⋅g(x)+f(x)⋅g′(x)(f(x) \cdot g(x))' = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x)
  3. 除法法则：(f(x)g(x))′=f′(x)⋅g(x)−f(x)⋅g′(x)(g(x))2\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)' = \frac{f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g'(x)}{(g(x))^2}

链式法则

链式法则用于求复合函数的导数。若y=f(u)y=f(u)且u=g(x)u=g(x)，则复合函数y=f(g(x))y=f(g(x))的导数为：

dydx=dydu⋅dudx\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}

隐函数求导

隐函数是指那些不能直接表示为y=f(x)形式的函数，而是通过一个方程F(x,y)=0来定义的函数。隐函数求导的方法是通过对方程两边同时进行微分，然后解出dy/dx。

隐函数求导法则

对方程F(x,y)=0两边同时对x求导，注意y是x的隐函数。
Ps:隐函数求导不是多元函数的偏导。

Example

求2x3−3y2=82x^3-3y^2=8的d2ydx2\frac{d^2y}{dx^2}
Solution:
对方程两边同时对x求导：

6x2−6ydydx=06x^2 - 6y \frac{dy}{dx} = 0

dydx=x2y\frac{dy}{dx} = \frac{x^2}{y}

对dydx\frac{dy}{dx}再次求导：

d2ydx2=(2xy−x2dydx)y2=2xy−x2⋅x2yy2=2xy2−x4y3\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{(2xy - x^2 \frac{dy}{dx})}{y^2} = \frac{2xy - x^2 \cdot \frac{x^2}{y}}{y^2} = \frac{2xy^2 - x^4}{y^3}

微分 线性化

当我们放大函数在某一点处的变化时，函数曲线会越来越接近该点的切线。这个过程称为微分或线性化。

微分的定义

设函数y=f(x)y=f(x)在点x0x_0处可导，dxdx为自变量xx的一个增量，则对应的函数值的增量dydy定义为：

dy=f′(x0)⋅dxdy = f'(x_0) \cdot dx

线性化

函数y=f(x)y=f(x)在点x0x_0处的线性化表达式为：

L(x)=f(x0)+f′(x0)(x−x0)L(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)

微分的几何意义

可导和可微

在高数上讨论的一元函数的可导和可微是等价的。