高等数学 2.Limit and Continuity

Limit and Continuity 极限和连续性

变化率 切线割线

平均变化率，割线

函数在区间 $[x_1, x_2]$ 上的平均变化率定义为：

$$\text{Average Rate of Change}=\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}=\frac{f(x_1 + h) - f(x_1)}{h},(h \ne 0)$$

经过点 $(x_1, f(x_1))$ 和 $(x_2, f(x_2))$ 的直线称为割线，割线的斜率就是函数在区间 $[x_1, x_2]$ 上的平均变化率。

切线

切线是指在某一点 $(x_0, f(x_0))$ 处与函数图像相切的直线。

上图中，OP为法线(normal line)，PL为切线(tangent line)。

当$Q$点趋近于$P$点时，割线变为切线，切线为割线的极限位置。

极限

极限的概念

函数 $f(x)$ 在点 $c$ 处的极限是指当自变量 $x$ 趋近于 $c$ 时，函数 $f(x)$ 所趋近的唯一确定的值，记作：

$$\lim _{x \rightarrow c} f(x)=L$$

函数$f(x)$在点$c$左右附近有定义，$x$与$c$无限接近时，$f(x)$无限接近某一确定的常数$L$，则称$L$为函数$f(x)$在点$c$处的极限。
注意：$\lim _{x \rightarrow c} f(x)=L$时，$f(x)$在$c$处可以没有定义，也可能不等于$f(c)$。

极限计算法则

设$\lim _{x \rightarrow c} f(x)=L$，$\lim _{x \rightarrow c} g(x)=M$，则有：

1. $\lim _{x \rightarrow c}[f(x) \pm g(x)]=L \pm M$
2. $\lim _{x \rightarrow c}[f(x) \cdot g(x)]=L \cdot M$
3. $\lim _{x \rightarrow c}\left[\frac{f(x)}{g(x)}\right]=\frac{L}{M}(M \neq 0)$
4. $\lim _{x \rightarrow c}[k \cdot f(x)]=k \cdot L(k$为常数$)$
5. $\lim _{x \rightarrow c}[f(x)]^n=L^n(n$为正整数$)$
6. $\lim _{x \rightarrow c} \sqrt[n]{f(x)}=\sqrt[n]{L}(L>0$当$n$为偶数$)$

注意：

$$\begin{align*} 有极限+无极限&=无极限\\ 无极限+无极限&=不确定\\ 有极限\times无极限&=不确定\\ 无极限\times无极限&=不确定\\ \end{align*}$$

Example

求$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{x^2+100}-10}{x^2}$。
Solution:

$$\begin{align*} \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{x^2+100}-10}{x^2}&=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{(\sqrt{x^2+100}-10)(\sqrt{x^2+100}+10)}{x^2(\sqrt{x^2+100}+10)}\\ &=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^2}{x^2(\sqrt{x^2+100}+10)}\\ &=\lim_{x \to 0}\frac{1}{\sqrt{x^2+100}+10}\\ &=\frac{1}{20} \end{align*}$$

三明治定理

设函数$f(x),g(x),h(x)$在点$x=c$的某一去心邻域内有定义，且满足不等式$g(x) \leq f(x) \leq h(x)$，如果

$$\lim _{x \rightarrow c} g(x)=\lim _{x \rightarrow c} h(x)=L$$

则：

$$\lim _{x \rightarrow c} f(x)=L$$

---

如果对于$x$在$c$的邻域或者去心邻域内有$f(x) \leq g(x)$，且$\lim _{x \rightarrow c} f(x),\lim _{x \rightarrow c} g(x)$都存在，则有：

$$\lim _{x \rightarrow c} f(x) \leq \lim _{x \rightarrow c} g(x)$$

注意

• 如果条件换成$f(x) < g(x)$,结论换成$\lim _{x \rightarrow c} f(x) < \lim _{x \rightarrow c} g(x)$，可能不成立。
  • tips:当$x \in (-1,0) \cup (0,1)$时，取$f(x)=0,g(x)=x$在$x \rightarrow 0$时的极限
• $f(x)$与$g(x)$的极限必须存在

极限带绝对值

$$\lim _{x \rightarrow c}|f(x)|=|L| \Leftarrow \lim _{x \rightarrow c} f(x)=L$$

不可以往右推导，tips:f(x)不有跳跃间断点。

Example

求$\lim _{x \rightarrow 0} x \sin \frac{1}{x}$。
Solution:
注意到：

$$-1 \leq \sin \frac{1}{x} \leq 1$$

所以：$x \sin \frac{1}{x}$在$-x,x$之间。
但是三明治定理要求夹住函数，不妨直接对$-x,x$取max或min(这里取了绝对值),有：

$$-|x| \leq x \sin \frac{1}{x} \leq |x|$$

当$x \rightarrow 0$时

$$\lim _{x \rightarrow 0} -|x|=\lim _{x \rightarrow 0} |x|=0$$

由三明治定理可得：

$$\lim _{x \rightarrow 0} x \sin \frac{1}{x}=0$$

极限的精确定义

设函数$f(x)$在点$x=c$的某一去心邻域内有定义，若存在常数$L$，使得对于任意给定的正数$\varepsilon>0$，都存在对应的正数$\delta>0$，当$0<|x-c|<\delta$时，都有$|f(x)-L|<\varepsilon$，则称函数$f(x)$在点$x=c$处的极限为$L$，记作：

$$\forall \varepsilon>0, \exists \delta>0, s.t. 0<|x-c|<\delta \Rightarrow|f(x)-L|<\varepsilon$$

注意

• $\delta$与$\varepsilon$有关系，$\delta$不唯一。
• 一般只考虑$\varepsilon \in (0,1)$

Example

用极限的定义证明$\lim _{x \rightarrow 0} \sin \frac{1}{x}$不存在。
Solution:
假设$\lim _{x \rightarrow 0} \sin \frac{1}{x}=L$存在，则对于$\varepsilon=0.5,\delta$，则$\exist x_1=\frac{1}{2k\pi+{\pi \over 2}}<\delta,x2=\frac{1}{2k\pi+{3\pi \over 2}}<\delta$，其中$k$为整数。
此时，$f(x_1)=\sin \frac{1}{x_1}=1, f(x_2)=\sin \frac{1}{x_2}=-1$，所以

$$\begin{cases} |f(x_1)-L|<0.5\\ |f(x_2)-L|<0.5 \end{cases}$$

$L$无解，所以$\lim _{x \rightarrow 0} \sin \frac{1}{x}$不存在。

一侧极限

左极限与右极限

函数$f(x)$在点$x=c$处的左极限是指当自变量$x$从$c$的左侧趋近于$c$时，函数$f(x)$所趋近的唯一确定的值，记作：

$$\lim _{x \rightarrow c^{-}} f(x)=L_{1}$$

函数$f(x)$在点$x=c$处的右极限是指当自变量$x$从$c$的右侧趋近于$c$时，函数$f(x)$所趋近的唯一确定的值，记作：

$$\lim _{x \rightarrow c^{+}} f(x)=L_{2}$$

严格定义

函数$f(x)$在点$x=c$处的左极限为$L_1$，记作$\lim _{x \rightarrow c^{-}} f(x)=L_{1}$，是指对于任意给定的正数$\varepsilon>0$，都存在对应的正数$\delta>0$，当$c-\delta<x<c$时，都有$|f(x)-L_1|<\varepsilon$。

$$\forall \varepsilon>0, \exists \delta>0, s.t. c-\delta<x<c \Rightarrow |f(x)-L_1|<\varepsilon$$

函数$f(x)$在点$x=c$处的右极限为$L_2$，记作$\lim _{x \rightarrow c^{+}} f(x)=L_{2}$，是指对于任意给定的正数$\varepsilon>0$，都存在对应的正数$\delta>0$，当$c<x<c+\delta$时，都有$|f(x)-L_2|<\varepsilon$。

$$\forall \varepsilon>0, \exists \delta>0, s.t. c<x<c+\delta \Rightarrow |f(x)-L_2|<\varepsilon$$

左右极限和极限的关系

$$\lim_{x \to c}f(x)=L \Leftrightarrow \lim_{x \to c^{-}}f(x)=L=\lim_{x \to c^{+}}f(x)$$

重要极限

$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}=1$$

等价无穷小

建议将所有的等价无穷小记为乘法的形式，作为常数的替换乘到原来的极限中
本质上是泰勒展开
下面是一些参考

$$\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots+(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}+\cdots$$

$$\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots+(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}+\cdots$$

$$\tan x = x + \frac{x^3}{3} + \frac{2x^5}{15} + \frac{17x^7}{315} + \frac{62x^9}{2835} + \cdots$$

$$e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+ \cdots+\frac{x^n}{n!}+ \cdots$$

$$\ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}- \cdots+(-1)^{n+1}\frac{x^n}{n}+\cdots$$

我们可以看到一些等价无穷小的样子。
比如$e^x-1\approx x$,$\sin x\approx x \cdots$

Example

计算

$$\lim_{x\to 0} \frac{\tan x-x}{\sin^3 x}$$

错误示范

$$\begin{align*} \lim_{x\to 0} \frac{\tan x-x}{\sin^3 x}&=\lim_{x\to 0} \frac{x-x}{x^3}\\ &=0 \end{align*}$$

正确做法

$$\begin{align*} \lim_{x\to 0} \frac{\tan x-x}{\sin^3 x}&=\lim_{x\to 0} \frac{\tan x-x}{\sin^3 x}\times \frac{x^3}{x^3}\\ &=\lim_{x\to 0}\frac{\tan x-x}{x^3}={1 \over 3} \end{align*}$$

连续

函数 $f(x)$ 在点 $x=c$ 处连续的定义是：

1. $f(c)$ 有定义；
2. $\lim _{x \rightarrow c} f(x)$ 存在；
3. $\lim _{x \rightarrow c} f(x)=f(c)$。

如果一个函数在某个区间内的每一点都连续，则称该函数在该区间内连续。

左连续和右连续

$$\lim_{x \to c^-} f(x) = L_1 (左连续)$$

$$\lim_{x \to c^+} f(x) = L_2 (右连续)$$

（测试时换成单边极限）

间断点

连续函数介值定理

当$f(x)$在$[a,b]$上连续时，$\forall y_0 \in (f(a),f(b))，\exist c \in (a,b)$使得$f(c)=y_0$。

零点存在定理

当$f(x)$在$[a,b]$上连续且$f(a)<0,f(b)>0$时，存在$c \in (a,b)$使得$f(c)=0$。

复合函数的极限

如果$g$在$b$连续，且$\lim_{x \to c} f(x) = b$，则$\lim_{x \to c} g(f(x)) = g(b)$。

外有极限 内有极限 可能啥也不是（连续性没有保证）

$$\begin{cases} \lim_{x \to x_0} f(x)=u_0\\ \lim_{x \to u_0} g(x)=L\\ \end{cases} \Rightarrow \lim_{x \to x_0} g(f(x))=L$$

反例tips：$g$有可去间断点，$f$左右横跳接近可去间断点。

无穷极限 渐近线

函数在无穷远处的极限

$x \to +\infty$ 时的极限

若对于任意给定的正数 $\varepsilon$，都存在相应的数 $M$，使得当所有 $x$ 满足 $x > M$ 时，有 $|f(x) - L| < \varepsilon$，则称当 $x$ 趋近于正无穷时，$f(x)$ 的极限为 $L$，记作：

$$\lim_{x \to +\infty} f(x) = L$$

$x \to -\infty$ 时的极限

若对于任意给定的正数 $\varepsilon$，都存在相应的数 $N$，使得当所有 $x$ 满足 $x < N$ 时，有 $|f(x) - L| < \varepsilon$，则称当 $x$ 趋近于负无穷时，$f(x)$ 的极限为 $L$，记作：

$$\lim_{x \to -\infty} f(x) = L$$

注：这里的 $N$ 和 $M$ 不唯一。

函数趋近于无穷（$x \to c$ 时）

$f(x) \to +\infty$

若对于任意正实数 $B$，都存在相应的 $\delta > 0$，使得当所有 $x$ 满足 $0 < |x - c| < \delta$ 时，有 $f(x) > B$，则称当 $x$ 趋近于 $c$ 时，$f(x)$ 趋近于正无穷，记作：

$$\lim_{x \to c} f(x) = +\infty$$

$f(x) \to -\infty$

若对于任意负实数 $-B$，都存在相应的 $\delta > 0$，使得当所有 $x$ 满足 $0 < |x - c| < \delta$ 时，有 $f(x) < -B$，则称当 $x$ 趋近于 $c$ 时，$f(x)$ 趋近于负无穷，记作：

$$\lim_{x \to c} f(x) = -\infty$$

渐近线

水平渐近线

若直线 $y = b$ 满足 $\lim_{x \to +\infty} f(x) = b$ 或者 $\lim_{x \to -\infty} f(x) = b$，则 $y = b$ 是函数 $y = f(x)$ 图像的水平渐近线。

垂直渐近线

若直线 $x = a$ 满足 $\lim_{x \to a^-} f(x) = +\infty$ 或者 $\lim_{x \to a^+} f(x) = -\infty$，则 $x = a$ 是函数 $y = f(x)$ 图像的垂直渐近线。

斜渐近线

若 $\lim_{x \to +\infty} (f(x) - (ax + b)) = 0$ 或者 $\lim_{x \to -\infty} (f(x) - (ax + b)) = 0$（其中 $a \neq 0$），则称 $y = ax + b$ 是 $y = f(x)$ 的斜渐近线（也称为斜截渐近线）。

极限法求斜渐近线系数：

若 $\lim_{x \to +\infty} (f(x) - (ax + b)) = 0$，则：

• 斜率 $a$：$a = \lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x}$
• 截距 $b$：$b = \lim_{x \to +\infty} [f(x) - ax]$
  （若考虑 $x \to -\infty$，将上述极限中的 $x \to +\infty$ 替换为 $x \to -\infty$ 即可）
  另一种表述：若 $f(x) = ax + b + g(x)$（其中 $a \neq 0$）且 $\lim_{x \to +\infty} g(x) = 0$，则 $y = ax + b$ 是 $y = f(x)$ 的斜渐近线（$x \to -\infty$ 时同理）。