2025-09-20

Chapter 1: Basic Ideas in Probability

基本概念

随机试验: 在相同条件下可以重复进行的实验.所有结果明确知晓，每次只会出现几种可能结果的一种，无法提前预知。
样本点 $\omega$ ：随机试验中每次可能出现的结果。
样本空间 $\Omega$ ：随机试验中所有可能结果的集合。
概率（概率测度）：取实数值的定义在样本空间 $\Omega$ 上的函数，满足：

非负性：对任意事件 $A\subseteq \Omega$ ，有 $P(A)\geq 0$ ；
规范性： $P(\Omega)=1$ ；
可列可加性：对于任意可列个互不相容事件 $A_1,A_2,\cdots$ ，有 $P\left(\bigcup_{i=1}^{\infty} A_i\right)=\sum_{i=1}^{\infty} P(A_i)$ 。

计算概率

古典概型

随机实验满足：

样本空间 $\Omega$ 中所有样本点个数有限；
样本空间 $\Omega$ 中所有样本点出现的可能性相等。
假设事件 $A$ 包含 $m$ 个样本点，样本空间 $\Omega$ 包含 $n$ 个样本点，则事件 $A$ 发生的概率为：

P(A)=\frac{m}{n}.

计数原理

乘法原理：一个由 $k$ 个阶段组成的实验，第 $i$ 个阶段有 $n_i$ 种可能的结果，则整个实验的所有可能结果数为 $n_1\times n_2\times \cdots \times n_k$ 。
加法原理：一个实验可以分成 $k$ 个互不相容的情况，第 $i$ 种情况有 $n_i$ 种可能的结果，则整个实验的所有可能结果数为 $n_1+n_2+\cdots+n_k$ 。
排列：从 $n$ 个不同元素中任取 $m(m\leq n)$ 个元素按一定顺序排列起来，称为从 $n$ 个不同元素中取出 $m$ 个元素的一个排列，记为 $A_n^m$ ，其数目为：

A_n^m=\frac{n!}{(n-m)!}.

组合：从 $n$ 个不同元素中任取 $m(m\leq n)$ 个元素组成一个无序的集合，称为从 $n$ 个不同元素中取出 $m$ 个元素的一个组合，记为 $C_n^m$ ，其数目为：

ParseError: KaTeX parse error: Can't use function '$' in math mode at position 52: \dots{n!}{m!(n-m)!}.$̲$ #### 生日问题 在一\dots

样本空间 $\Omega$ 中所有样本点个数为 $365^n$ 。事件 $\overline A$ 中所有样本点个数为 $365\times 364\times \cdots \times (365-n+1)$ 。因此，

P(A)=1-\frac{365\times 364\times \cdots \times (365-n+1)}{365^n}.

$n$	$20$	$25$	$30$	$40$	$50$	$55$
$P(A)$	$0.41$	$0.57$	$0.71$	$0.89$	$0.97$	$0.99$

几何概型

随机实验满足：

样本空间 $\Omega$ 是某个几何图形所表示有界的区域；
样本空间 $\Omega$ 中所有样本点出现的可能性相等。
假设事件 $A$ 对应的几何图形的面积为 $S_A$ ，样本空间 $\Omega$ 对应的几何图形的面积为 $S_{\Omega}$ ，则事件 $A$ 发生的概率为：

P(A)=\frac{S_A}{S_{\Omega}}.

伯特兰悖论

在一个半径为 $1$ 的圆内随机画一条弦，求该弦长大于 $\sqrt{3}$ 的概率。

解法1：

取一半径 $OA$ 任意取一点 $C$ ,以 $C$ 为中点作弦 $DE$ ，则弦 $DE$ 的长度大于 $\sqrt{3}$ 等价于 $OC<\frac{1}{2}$ 。因此，事件 $A$ 的概率为：

P(A)=\frac{1}{2}.

解法2：

在圆上取一点 $A$ ,作 $A$ 的切线，再在圆上随机取一点，构成一条弦，与切线形成夹角 $\theta$ ，则弦长大于 $\sqrt{3}$ 等价于 ${\pi \over 3} < \theta \leq {\pi \over 2}$ 。因此，事件 $A$ 的概率为：

P(A)=\frac{\pi/2-\pi/3}{\pi/2}=\frac{1}{3}.

解法3：

在圆内随机取一点 $B$ ，以 $B$ 为中点作弦 $DE$ ，则弦 $DE$ 的长度大于 $\sqrt{3}$ 等价于点 $B$ 在以圆心为中心，半径为 ${1 \over 2}$ 的圆内。因此，事件 $A$ 的概率为：

P(A)=\frac{\pi (1/2)^2}{\pi 1^2}=\frac{1}{4}.

结论

三种解法均正确，但得到的结果不同，是因为题目中对“随机选取弦”的定义不明确，导致样本空间的不同。

条件概率与独立性

设 $A$ 和 $B$ 是样本空间 $\Omega$ 中的两个事件，且 $P(B)>0$ ，则在事件 $B$ 发生的条件下事件 $A$ 发生的条件概率定义为：

P(A|B)={P(A\cap B) \over P(B)}.

核心：当 $B$ 发生时，样本空间缩小为 $B$ ，在新的样本空间中计算事件 $A$ 发生的概率。 $B$ 的发生影响了 $A$ 的发生， $B$ 发生带来了信息。

三门问题

有三扇门，其中一扇门后有一辆汽车，另外两扇门后各有一只山羊。参赛者先选择一扇门（假设选择了门1），然后主持人打开另一扇门（假设打开了门3，门3后是一只山羊），并问参赛者是否要更换选择到门2。问：参赛者更换选择到门2后获胜的概率是多少？
解：设事件 $A$ 表示“汽车在门2后”，事件 $B$ 表示“主持人打开了门3”。则要求的概率为 $P(A|B)$ 。根据条件概率的定义，有：

ParseError: KaTeX parse error: Can't use function '$' in math mode at position 32: …B) \over P(B)}.$̲ 首先计算$P(B)$。汽车可…

接下来计算 $P(A\cap B)$ 。汽车在门2后且主持人打开门3的概率为：

P(A\cap B)={1 \over 3}\times 1={1 \over 3}.

因此，有：

P(A|B)={P(A\cap B) \over P(B)}={1/3 \over 1/2}={2 \over 3}.

全概率公式与贝叶斯公式

设 $B_1,B_2,\cdots,B_n$ 是样本空间 $\Omega$ 的一组划分，且 $P(B_i)>0(i=1,2,\cdots,n)$ ，则对于任意事件 $A\subseteq \Omega$ ，有全概率公式：

P(A)=\sum_{i=1}^{n} P(A|B_i)P(B_i).

设 $B_1,B_2,\cdots,B_n$ 是样本空间 $\Omega$ 的一组划分，且 $P(B_i)>0(i=1,2,\cdots,n)$ ，则对于任意事件 $A\subseteq \Omega$ ，有贝叶斯公式：

P(B_i|A)={P(A|B_i)P(B_i) \over P(A)}={P(A|B_i)P(B_i) \over \sum_{j=1}^{n} P(A|B_j)P(B_j)}.

独立与互斥

设 $A$ 和 $B$ 是样本空间 $\Omega$ 中的两个事件，若满足 $P(A\cap B)=P(A)P(B)$ ，则称事件 $A$ 和事件 $B$ 相互独立。若满足 $P(A\cap B)=0$ ，则称事件 $A$ 和事件 $B$ 互不相容（互斥）。
若 $P(A)>0,P(B)>0$ ，则“ $A$ 和 $B$ 相互独立”和“ $A$ 和 $B$ 互斥”不能同时成立。
“ $A$ 和 $B$ 互不相容”，意味着如果 $A$ 发生，则 $B$ 不发生；换句话说, $A$ 的发生为 $B$ 的发生提供了信息，因此这两个事件不独立。

工程概率与统计 1.Basic Ideas in Probability