10 迈克尔逊干涉仪(89pts)

10 迈克尔逊干涉仪

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实验目的

学习使用迈克尔逊干涉仪，测量$He-Ne$激光的波长。

实验原理

原理

  迈克尔逊干涉仪原理图如上，它由一对平行的玻璃板（$A$,$B$）和两个全反射镜（$M_1,M_2$）组成；其中$A$的一面上有半反射膜；$B$用于补充光程；$M_1$与精密丝杆连接，可前后移动；$M_1$和$M_2$都有小螺丝调整方位。
  光源发出的光线经过$A$分成两束光，分别经过两条不同的光路后再汇聚到一起，两束相干光束中各光线光程差不同，它们相遇时产生一定的干涉图样。
  由$S$发出的光线经过$A$分成两束光，分别经过$M_1$和$M_2$反射后再回到$A$处，相当于由两个虚光源$S_1$和$S_2$发出的光线相遇。由于两束光的光程差为$\Delta h=2h$，其中$h$为两条光路的长度差。
  设$S_1$和$S_2$两束光相交于$P$，
$P$处的光程差为

$$\begin{aligned} \Delta&=\sqrt{(Z+2h)^2+R^2}-\sqrt{Z^2+R^2}\\ &=\sqrt{Z^2+R^2}[ (1+\frac{4Zh+4h}{Z^2+R^2})^{1 \over 2}-1]\\ &=\sqrt{Z^2+R^2}[ {1\over2}(\frac{4Zh+4h}{Z^2+R^2})-{1 \over 8}(\frac{4Zh+4h}{Z^2+R^2})^2+...]\\ &\approx \frac{2hz}{\sqrt{Z^2+R^2}}[\frac{Z^3+ZR^2+R^2h-2h^2Z-h^3}{Z(Z^2+R^2)}]\\ &=2hcos\delta[1+{h\over Z}sin^2\delta-{2h^2\over Z^2}cos^2\delta-{h^3\over Z^3}cos^2\delta]\\ &\approx 2hcos\delta(1+\frac{h}{Z}sin^2\delta) \end{aligned}$$

  当$\delta=0$即干涉环中心，光程差有最大值，干涉级数最高。设刚开始中心最亮，$\Delta_1=m\lambda=2h_1$，改变光程差，使中心任为最亮$\Delta_2=(m+n)\lambda=2h_2$，所以有

$$\Delta h=h_2-h_1=\frac{(m+n)\lambda}{2}-\frac{m\lambda}{2}=\frac{n\lambda}{2}$$

  在视觉上，当$M_1$和$M_2$的距离变化半波长时，中心就“生出”或“消失”一个圆环。所以，可以用$M_1$移动的距离$\Delta h$和吐出（或吞进）的圆环数$N$来表示光程差的变化。

实验仪器

迈克尔逊干涉仪、$He-Ne$激光器、短焦距透镜。

实验内容

观察非定域干涉条纹：

  1）调整光路
  打开He-Ne激光器，使激光束基本垂直M2面，调节M2上的两个螺钉（有时还需调节M1后面的两个螺钉），激光束经M1与M2反射后在毛玻璃上重合，这时能在毛玻璃上看到两排光点一一重合。
  2）加上短焦距透镜而使光源成为发散光束，在两光束程差不太大时，在毛玻璃屏上可观察到干涉条纹，轻轻调节M2后的螺钉，应出现圆心基本在毛玻璃屏中心的圆条纹。
  3）转动鼓轮，观察干涉条纹的形状，疏密及中心“吞”、“吐”条纹随程差的改变而变化的情况。

测量He-Ne激光的波长：

  采用非定域的干涉条纹测波长:缓慢转动微动手轮，移动M1以改变h，中心每“生出”或“吞进”50个条纹，记下对应的h值。连续记录11组50个条纹对应的h值，利用逐差法计算波长。

实验数据

测量次数	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$
$位置h/mm$	$53.19452$	$53.17833$	$53.16242$	$53.14618$	$53.13011$	$53.11424$

测量次数	$7$	$8$	$9$	$10$	$11$	$12$
$位置h/mm$	$53.09802$	$53.08212$	$53.06639$	$53.05052$	$53.03460$	$53.01933$

每次测量之间相差50个环

数据处理

计算$\lambda$

逐差法	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$
$|h_i-h_{i+6}|/mm$	$0.09650$	$0.09621$	$0.09603$	$0.09566$	$0.09551$	$0.09491$

$\lambda=\frac{2 \sum \limits_{i=1}^{6} |h_i-h_{i+6}|}{50*6*6} =\frac{2(0.09650 +0.09621 +0.09603 +0.09566 +0.09551 +0.09491)}{50*6*6}= 638.69nm$
$\lambda_0=632.8nm$
$Error=\frac{\lambda-\lambda_0}{\lambda_0}\times 100 \%=\frac{638.69-632.8}{632.8}\times 100 \%=0.944\% < 1\%$

计算不确定度（$p=0.95$）

计算中 取值：$\Delta_{仪}=0.00005mm$，$t_{0.95}=2.57$，$k_p=1.65$,$C=\sqrt{3}$
$\bar {\Delta h}=\frac{\sum \limits_{i=1}^{6} \Delta h_i}{6}=\frac{0.09650 +0.09621 +0.09603 +0.09566 +0.09551 +0.09491}{6}=0.09580mm$
$u_A=\sqrt{\frac{\sum\limits_{i=1}^6(\Delta h_i-\bar {\Delta h})^2}{n(n-1)}}=\sqrt{\frac{( 0.09650 - 0.09580 )^2+( 0.09621 - 0.09580 )^2+( 0.09603 - 0.09580 )^2+( 0.09566 - 0.09580 )^2+( 0.09551 - 0.09580 )^2+( 0.09491 - 0.09580 )^2}{5*6}}=2.31426\times10^{-4}mm$
$u_B=\sqrt{\Delta^2_{后}+\Delta^2_{前}}=\sqrt{2\Delta^2_{仪}}=\sqrt{2 \times 0.00005^2}=7.07107\times10^{-5}mm$
$u_h=\sqrt{t_p u_A^2 + k_p \frac{u_B^2}{C}}=\sqrt{2.57\times(2.31426\times10^{-4})^2+1.65\times\frac{7.07107\times10^{-5}}{\sqrt{3}}} =3.05178\times10^{-4}mm=305.18nm$
$\frac{u_\lambda}{\lambda}=\frac{u_h}{\bar {\Delta h}} \Rightarrow u_\lambda=\frac{u_h \lambda}{\bar {\Delta h}}=\frac{3.05178\times10^{-4} \times 638.69}{0.09580}=2.0345\times10^{-6}mm=2.0345nm$
所以$\lambda=638.69 \pm 2.0345 nm$

误差分析

  仪器误差，测量精度限制；桌面晃动带来的干涉波纹明显变化；每次数的数目的可能多于或少于$50$；转动旋钮过快导致干涉图像吞进或吐出圆环速度过快。

实验结论

  实验测得$\lambda=638.69 \pm 2.0345 nm$，$Error=0.944\% < 1\%$，与理论值基本相符。

思考题

迈克尔逊干涉仪的分光板（分束器）有何作用？若分光板存在微小倾斜，会对实验产生什么影响？

  分光板的主要作用是其主要功能是将入射光束分为两束光强相等、相干性良好的光以经过反射后实现干涉。当分光板存在微小倾斜时，会破坏光路对称性，导致光程差不可控、干涉条纹形态畸变（如扭曲、倾斜或消失）以及条纹对比度下降。

如何利用迈克尔逊干涉仪测量透明薄膜的折射率？请简述实验思路。

  测量薄膜插入干涉仪光路前后的光程差变化来测量薄膜的折射率。实验步骤如下：

1. 调整干涉仪，调整光路(详细调节可见“五.实验内容”)，记录初始的位置。
2. 垂直插入薄膜于分光镜与$M_2$之间，保证其与光线垂直。根据分析，转动调节旋钮使$M_1$远离($n>1$)分光镜，记录位置。
3. 测量薄膜的厚度。
4. 通过公式计算得出折射率。