19 固体杨氏模量(95pts)

19 固体杨氏模量

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实验目的

1. 了解固体杨氏模量的概念和测量方法。
2. 了解光杠杆放大发的原理和应用。

实验原理

  材料受力后会发生形变，弹性限度内，材料的应力与应变成正比，比例系数称为杨氏模量。大小表明了材料的刚度，越大表示材料越坚硬。杨氏模量的定义为：

$$E=\frac{\frac{F}{S}}{\frac{\Delta L}{L}}=\frac{FL}{S\Delta L}$$

  其中，$F$为在$S$横截面积上的应力，$\Delta L$为材料的形变，$L$为材料的原长。一般$\Delta L$很小，所以采用光学放大法测量。
  光杠杆是一个带有可旋转的平面镜的支架，平面镜的镜面与三个足尖决定的平面垂直，其后足即杠杆的支脚与被测物接触。当杠杆支脚随被测物上升或下降微小距离$\Delta L$时，镜面法线转过一个微小的$\theta$角，而入射到望远镜的光线转过$2 \theta$角。由于$tan\theta=\theta+\frac{\theta^3}{3!}+\cdots$，所以当$\theta$很小时，$tan\theta \approx \theta$。所以有

$$tan\theta=\frac{\Delta L}{l}\approx \theta$$

$$tan2\theta=\frac{b}{D}\approx 2\theta \approx 2\frac{\Delta L}{l}$$

带入整理得

$$E=\frac{2DLF}{Slb}$$

其中，$L$为金属丝的长度，$S$为金属丝的横截面积，$b$为望远镜中所看到的移动距离，$D$为平面镜和直尺之间的距离，$l$为光杠杆的臂长。

实验仪器

支架，光杠杆，镜尺组，管制器，钢丝，砝码托，砝码，钢尺。

实验内容

调节仪器

 (a)调节放置光杠杆的平台与望远镜的相对位置，使光杠杆镜面法线与望远镜轴线大体重合。调节支架底脚螺丝，确保平台水平，调平台的上下位置，使管制器顶部与平台的上表面共面。
 (b)调节光杠杆的镜面和足尖(或刀口)平行，使用时足尖(或刀口)放在平台的沟槽内，后锥形足尖放在管制器的槽中（不得与钢丝相碰），之后再调节平面镜的仰角使镜面垂直，使光杠杆镜面法线与望远镜轴线大体重合。
 ©调节望远镜、直尺和光杠杆三者之间的相对位置，使望远镜和光杠杆平面镜处于同等高度。先粗调，使望远镜上的准星瞄准平面镜中的标尺像。再细调，使分划线清晰，用手轮调焦使尺像清晰。
 (d)调节好后，保持仪器位置不变，加减砝码应交叉轻放，防止晃动，在钢丝静止后再读数。

测量

 (a)测量钢丝长度。（夹钢丝半圆柱下表面~管制器上表面）
 (b)记录望远镜中的初始长度$b_0$,在砝码托上逐次增加$1kg$的砝码，记录加后的读数$b_i$,然后计算出变化量$\Delta b_i$，做二次求平均$\bar {\Delta b_i}$。
 ©用米尺测量金属丝的长度$L$，平面镜和直尺之间的距离$D$和光杠杆的臂长$l$，各测一次。用游标卡尺测量金属丝的直径$d$（在上中下各测2次，共6次），计算出横截面积$S=\frac{\pi d^2}{4}$。

实验数据

$m(kg)$	$1 .00$	$2 .00$	$3 .00$	$4.00$	$5 .00$	$6 .00$	$7 .00$	$8 .00$
$r_{i,1}(cm)$	$1.50$	$2.19$	$3.10$	$3.78$	$4.45$	$5.09$	$5.76$	$6.41$
$r_{i,2}(cm)$	$1.85$	$2.59$	$3.29$	$3.91$	$4.56$	$5.19$	$5.79$	$6.41$
$\bar r_i(cm)$	$1.68$	$2.39$	$3.20$	$3.84$	$4.50$	$5.14$	$5.78$	$6.41$

$i$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$
$d_i(mm)$	$0.60$	$0.60$	$0.60$	$0.60$	$0.60$	$0.61$

金属丝的长度$L=80.65cm$，平面镜和直尺之间的距离$D=152.22cm$和光杠杆的臂长$l=7.49cm$，金属丝直径$\bar d=0.60mm$。

数据处理

逐差法处理 ($p=0.95$)

$\bar{\delta b}={1\over 16}\sum \limits_{i=1}^{4}(\bar r_{i+4}-\bar r_i)=0.6703cm$
$E=\frac{2DLF}{Slb}=\frac{8mgLD}{\pi \delta b d^2 l}=1.683\times10^{11}Pa$
$∆m=5g,∆L = 0.05mm,∆D =0.05mm,∆l = 0.05mm,∆b = 0.05mm,∆d = 0.001mm$
所以
$\frac{\Delta E}{E}=\sqrt{(\frac{\Delta D}{D})^2+ (\frac{\Delta L}{L})^2+ (\frac{\Delta l}{l})^2+ (\frac{\Delta F}{F})^2+ (\frac{\Delta b}{b})^2+ (\frac{2\Delta d}{d})^2}=0.0751$
$\Delta E=1.264\times10^{10}Pa$
$E=(1.683\pm 0.1264)\times10^{11}Pa$

作图法($p=0.95$)

$\delta b=0.6734cm$
$E=\frac{2DLF}{Slb}=\frac{8mgLD}{\pi \delta b d^2 l}=1.675\times10^{11}Pa$
$∆m=5g,∆L = 0.05mm,∆D =0.05mm,∆l = 0.05mm,∆b = 0.05mm,∆d = 0.001mm$
所以
$\frac{\Delta E}{E}=\sqrt{(\frac{\Delta D}{D})^2+ (\frac{\Delta L}{L})^2+ (\frac{\Delta l}{l})^2+ (\frac{\Delta F}{F})^2+ (\frac{\Delta b}{b})^2+ (\frac{2\Delta d}{d})^2}= 0.0748$
$\Delta E=1.253\times10^{10}Pa$
$E=(1.675\pm 0.1253)\times10^{11}Pa$

误差分析

1. 光杆未水平
2. 在未稳定时读数
3. 仪器的测量误差

实验结论

经过光杠杆放大法测得固体杨氏模量
逐差法：$E=(1.683\pm 0.1264)\times10^{11}Pa$，相对误差$=\frac{\Delta E}{E_0}=15.85\%$
作图法：$E=(1.675\pm 0.1253)\times10^{11}Pa$，相对误差$=\frac{\Delta E}{E_0}=16.25\%$
误差在合理范围内，说明实验结果是可靠的。

思考题

利用光杠杆把测微小长度$\Delta L$, 变成测$b$,光杠杆的放大率为$\frac{2D}{l}$,根据此式能否以增加$D$减小光杠杆臂长$l$,来提高放大率，这样做有无好处？有无限度？应怎样考虑这个问题？

使$D\uparrow l\downarrow$来提升倍数，可以增大放大率，但是会导致抖动被放大，更难测量到精确数值，数据误差变大。同时，放大到一定倍数后，成像会变得模糊，导致误差。所以倍数要有一定的限制。

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