22 单摆测量重力加速度(82.5pts)

22 单摆测量重力加速度

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实验目的

利用单摆的原理测量重力加速度 $g$ 。
进行设计性实验的尝试与训练。
学习数据处理与误差分析的方法，并学会使用适当的器材减小误差。

实验原理

由单摆的周期公式

T=2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}

可以推出

g=\frac{4\pi^2l}{T^2}=\frac{4\pi^2l}{(t/N)^2} =\frac{4\pi^2lN^2}{t^2}=\frac{4\pi^2N^2(l_0+\frac{D}{2})}{t^2}

其中 $l_0$ 为摆线长， $D$ 为摆锤的直径， $l$ 为摆长（ $l=l_0+\frac{D}{2}$ ）， $t$ 为测量时间， $N$ 为周期数

所以可以通过测量摆线长，球的直径，摆动N次的时间来计算重力加速度 $g$ 。

通过网上资料可以得知当地的重力加速度 $g_0$ 。
由此实验误差可以通过 $Error=\frac{|g-g_0|}{g_0}*100\%=\frac{\Delta g}{g_0}*100\%$ 来计算。要求不确定度小于1%。

Error=\frac{\Delta g}{g_0}\leq1\%\Rightarrow \begin{cases} \frac{\Delta l}{l}\leq0.5\%\\ \frac{\Delta t}{t}=\frac{\Delta t}{NT}\leq0.25\% \end{cases}

钢卷尺的最小刻度为 $1mm$ ，游标卡尺的最小刻度为 $0.01mm$ ，秒表的最小刻度为 $0.01s$ ，人的反应时间约为 $0.2s$ ，所以 $\Delta l\approx1mm$ ， $\Delta t\approx0.2s$ 。
所以我们可以选择摆线长 $l\geq0.2m$ ，
周期数 $N\geq4T$ 。
经过误差分析，我们选择 $l\approx1m$ ， $N=50$ 。

实验仪器

1.细线 2.小球 3.秒表 4.游标卡尺 5.钢卷尺 6.铁架台

实验内容

用游标卡尺测量小球的直径 $D$ 。(多次测量取平均值)
用细线穿过铁球，并绑在铁架台上，测量绑定位置到小球上端的距离 $l_0$ 。(多次测量取平均值)
将秒表复位，拉动小球到一定高度（角度 $\theta<5\degree$ ），放开小球，当小球经过摆动的最下端开始计时，测量摆动 $N$ 次的时间 $t$ 。(多次测量取平均值)
记录数据，计算出 $g$ 。
比较当地重力加速度 $g_0$ ，计算误差，得出结论。

实验数据

摆线长度测量5次，摆球直径测量5次结果如下：

	1	2	3	4	5
$小球直径D（mm）$	$20.00$	$20.02$	$20.02$	$20.02$	$20.02$
$摆线长度l_0（cm）$	$72.02$	$71.91$	$71.98$	$71.95$	$71.97$

每次测量 $N=50$ 次周期，总时间测量5次，结果如下：

	1	2	3	4	5
$摆动时间t（s）$	$85.75$	$85.66$	$85.72$	$85.79$	$85.69$

数据处理

计算平均值

$\bar l_0=\frac{l_{0,1}+l_{0,2}+l_{0,3}+l_{0,4}+l_{0,5}}{5}=71.97cm$
$\bar D=\frac{D_{1}+D_{2}+D_{3}+D_{4}+D_{5}}{5}=20.02mm$
$\bar t=\frac{t_{1}+t_{2}+t_{3}+t_{4}+t_{5}}{5}=85.72s$
$g=\frac{4\pi^2N^2(\bar l_0+\frac{\bar D}{2})}{\bar t^2}=9.80m/s^2$ 。

计算误差

$Error=\frac{\Delta g}{g_0}*100\%=0.14\%$ 。

$t_{0.95}=2.78，k_{0.95,三角分布}=1.90，k_{0.95,正态分布}=1.95，C=\sqrt 6$

A类不确定度

$U_{a,l_0}=\sqrt{\frac{\Sigma(l_{0,i}-\bar l)^2}{n*(n-1)}}*t_{0.95}=5.02\times10^{-2}cm$
$U_{a,D}=\sqrt{\frac{\Sigma(D_i-\bar D)^2}{n*(n-1)}}*t_{0.95}=1.11\times10^{-2}mm$
$U_{a,t}=\sqrt{\frac{\Sigma(t_i-\bar t)^2}{n*(n-1)}}*t_{0.95}=6.30\times10^{-2}s$ 。

B类不确定度

$U_{b,l_0}=\frac{\sqrt{\Delta^2_{人}+\Delta^2_{钢尺}}}{C}*k_{0.95,三角分布}=\frac{\sqrt{0.05cm^2+0.10cm^2}}{\sqrt{6}}*1.90=8.67\times10^{-2}cm$
$U_{b,D}=\frac{\sqrt{\Delta^2_{人}+\Delta^2_{游标卡尺}}}{C}*k_{0.95,三角分布}=\frac{\sqrt{0.005cm^2+0.01cm^2}}{\sqrt{6}}*1.90=8.67\times10^{-3}cm$
$U_{b,t}=\frac{\sqrt{\Delta^2_{人}+\Delta^2_{秒表}}}{C}*k_{0.95,正态分布}=\frac{\sqrt{0.2s^2+0.01s^2}}{\sqrt{6}}*1.95=0.159s$

合成不确定度

$U_{l_0}=\sqrt{U_{a,l_0}^2+U_{b,l_0}^2}=\sqrt{(5.02\times10^{-2}cm)^2+(8.67\times10^{-2}cm)^2}=0.100cm$
$U_{D}=\sqrt{U_{a,D}^2+U_{b,D}^2}=\sqrt{(1.11\times10^{-2}mm)^2+(8.67\times10^{-3}cm)^2}=8.74\times 10^{-3}cm$
$U_{t}=\sqrt{U_{a,t}^2+U_{b,t}^2}=\sqrt{(6.30\times10^{-2}s)^2+(0.159s)^2}=0.171s$

传递不确定度

$l=l_0+\frac{D}{2} \Rightarrow U_l=\sqrt{U_{l_0}^2+(\frac{U_D}{2})^2}=0.100cm$
$\frac{U_g}{g}=\sqrt{(\frac{U_l}{\bar l})^2+(\frac{2U_t}{\bar t})^2} \Rightarrow U_g=0.0414$

误差分析

测量读数存在误差
人对于摆球到达位置的判断，以及反应判断存在误差
摆动过程中空气阻力和连接端的摩擦力的影响
摆线的弹性变形,以及其质量
摆角带来的高次项，计算公式本身的近似

实验结论

测得重力加速度 $g=9.80\pm0.041m/s^2$ ，与当地重力加速度 $g_0=9.7887m/s^2$ 相差 $Error=0.14\%$ ，误差在允许范围内。