21 随机误差的分布规律(82.5pts)

21 时间测量中随机误差的分布规律(82.5pts)

21 时间测量中随机误差的分布规律

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实验目的

1. 了解随机误差的离散性和分布规律。
2. 了解误差分析的基本方法。
3. 了解测量不确定度的计算方法。

实验原理

1. 重复测量电子节拍器的周期$T_0$，测量结果为$T_1,T_2,\cdots,T_n$，其中$n$为测量次数。如果测量次数足够多，那么测量结果$T_i$的分布就会趋近于正态分布。

   $$p(T)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(T-\bar{T})^2}{2\sigma^2}}$$

   其中$\bar{T}=\frac{1}{n}\Sigma T_i$，$\sigma=\sqrt{\frac{\Sigma (T_i-\bar{T})^2}{n-1}}$
   由正态分布的统计规律得

$$P(|T-\bar{T}|<\sigma)\approx68.3\%\\ P(|T-\bar{T}|<2\sigma)\approx95.4\%\\ P(|T-\bar{T}|<3\sigma)\approx99.7\%$$

2. 计算周期量的A类不确定度可以使用$U_A=\frac{\sigma*t_p}{\sqrt{n}}$，其中$\sigma$为测量结果的标准差，$n$为测量次数，$t_p$为置信系数。计算周期量的B类不确定度可以使用$U_B=\frac{\sqrt{\Delta _估^2+\Delta _仪^2}}{C}*k_p$，其中$C$、$k_p$为置信系数。所以U=$\sqrt{U_A^2+U_B^2}$。
3. 节拍器周期$T_0$的测量值为$T_0=\bar{T}\pm U$，$P=0.95$。

实验仪器

1.电子节拍器 2.秒表

实验内容

1. 用秒表测量电子节拍器周期$T_i$，测量次数为$N=200$。
2. 计算周期量的平均值$\bar{T}$和标准差$\sigma$。
3. 根据测量结果的离散程度和极差$R=max(T_i)-min(T_i)$，设置合理步长$\Delta T$，个数为$M$。
4. 统计每个区间的频数$N_i$，计算频率$f_i=\frac{N_i}{N}$和概率密度$p_i=\frac{f_i}{\Delta T}$，绘制概率分布直方图$p-T$。
5. 计算正态分布函数$p(T)$，并绘制正态分布曲线。
6. 在$p-T$图中绘制$p(T)$正态分布的散点图，检验测量结果是否符合正态分布。
7. 分别统计在$|\bar{T}-\sigma|$、$|\bar{T}-2\sigma|$、$|\bar{T}-3\sigma|$范围内的概率，与理论值比较
8. 计算周期量的A类不确定度$U_A$和B类不确定度$U_B$，计算周期量的总不确定度$U$，得出结论

实验数据

见时间统计分布规律实验数据记录表
data.txt

数据处理

基本统计量

$\bar{T}=\frac{1}{n}\Sigma T_i=3.09s$，$\sigma=\sqrt{\frac{\Sigma (T_i-\bar{T})^2}{n-1}}=0.135s$，$R=max(T_i)-min(T_i)=0.72s$

概率密度直方图与正态分布曲线的对比

将数据分为$M=12$个区间，步长$\Delta T=0.06s$，区间范围为$[2.88,3.54]$，数据处理见下表

区间	频数	频率	概率密度	正态分布
$[ 2.76 , 2.82 ]$	$3$	$0.01$	$0.25$	$0.24$
$( 2.82 , 2.88 ]$	$2$	$0.01$	$0.17$	$0.58$
$( 2.88 , 2.94 ]$	$14$	$0.07$	$1.17$	$1.17$
$( 2.94 , 3.00 ]$	$16$	$0.08$	$1.33$	$1.94$
$( 3.00 , 3.06 ]$	$19$	$0.10$	$1.58$	$2.64$
$( 3.06 , 3.12 ]$	$16$	$0.08$	$1.33$	$2.95$
$( 3.12 , 3.18 ]$	$21$	$0.10$	$1.75$	$2.71$
$( 3.18 , 3.24 ]$	$18$	$0.09$	$1.50$	$2.04$
$( 3.24 , 3.30 ]$	$22$	$0.11$	$1.83$	$1.26$
$( 3.30 , 3.36 ]$	$5$	$0.03$	$0.42$	$0.64$
$( 3.36 , 3.42 ]$	$2$	$0.01$	$0.17$	$0.27$
$( 3.42 , 3.48 ]$	$3$	$0.01$	$0.25$	$0.09$

结果基本符合正态分布

检验$1\sigma$,$2\sigma$,$3\sigma$范围内的概率

范围	频数	实验值	理论值
$(\bar{T}-\sigma,\bar{T}+\sigma)$	$133$	$66.5\%$	$68.3\%$
$(\bar{T}-2\sigma,\bar{T}+2\sigma)$	$191$	$95.5\%$	$95.4\%$
$(\bar{T}-3\sigma,\bar{T}+3\sigma)$	$200$	$100\%$	$99.7\%$

计算不确定度

$U_A=\frac{\sigma*t_p}{\sqrt{n}}=\frac{0.135*1.96s}{\sqrt{200}}=0.019s$
$U_B=\frac{\sqrt{\Delta _估^2+\Delta _仪^2}}{C}*k_p=\frac{\sqrt{0.01^2+0.2^2}}{1}*1.96=0.39s$
$U=\sqrt{U_A^2+U_B^2}=\sqrt{0.019^2+0.39^2}=0.39s$

计算周期量的测量值

$T_0=\bar{T}\pm U=3.09\pm 0.39s$

误差分析

1. 测量时反应时间的误差
2. 实验人员的心态变化导致的误差
3. 秒表仪器和电子节拍器的误差

实验结论

重复使用秒表测量电子节拍器的周期T,并使用统计学方法可以求得较准确的周期T。实验中随机误差大致符合正态分布，且在$|\bar{T}-\sigma|$、$|\bar{T}-2\sigma|$、$|\bar{T}-3\sigma|$范围内的概率与理论值相符。200次重复测量后，周期量的测量值为$T_0=\bar{T}\pm U=3.09\pm 0.39s(p=0.95)$

思考题

若测量结果偏离正态分布，请分析其主要原因。

仪器精度不足，实验员员操作不当导致误差较大，实验环境导致实验员分心导致反应变慢

在不考虑系统误差的前提下，多次等精度测量的随机误差分布有哪些特征？

随机误差基本服从以0为均值的正态分布，随机分布误差的概率密度趋近一个确定值，随机误差对精确测量结果的影响变小

• 物理实验
• 随机误差